【題目】在某次活動中,有5名幸運之星.這5名幸運之星可獲得、兩種獎品中的一種,并規(guī)定:每個人通過拋擲一枚質(zhì)地均為的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品(骰子的六個面上的點數(shù)分別為1點、2點、3點、4點、5點、6點),拋擲點數(shù)小于3的獲得獎品,拋擲點數(shù)不小于3的獲得獎品.
(1)求這5名幸運之星中獲得獎品的人數(shù)大于獲得獎品的人數(shù)的概率;
(2)設(shè)、分別為獲得、兩種獎品的人數(shù),并記,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1);(2),的分布列見解析.
【解析】
首先求出5名幸運之星中,每人獲得A獎品的概率和B獎品的概率.(1)獲得A獎品的人數(shù)大于獲得B獎品的人數(shù),得到獲得A獎品的人數(shù)可能為3,4,5,利用獨立重復(fù)試驗求得概率;(2)由ξ=|X﹣Y|,可得ξ的可能取值為1,3,5,同樣利用獨立重復(fù)試驗求得概率,然后列出頻率分布表,代入期望公式求期望.
這5名幸運之星中,每人獲得獎品的概率為,獎品的概率為.
(1)要獲得獎品的人數(shù)大于獲得獎品的人數(shù),則獎品的人數(shù)可能為3,4,5,則
所求概率為.
(2)的可能取值為1,3,5,且,
,
,
所以的分布列是:
1 | 3 | 5 | |
故隨機變量的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)(),.
(1)若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線.
①求實數(shù)的值;
②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時,求證:對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù), ,都有成立.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓:的焦距為8,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形。
(1)求的方程;
(2)設(shè)為的左焦點,為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,.
(i)證明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點);
(ii)當(dāng)取最小值時,求點的坐標(biāo)。
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【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是,點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓另一個焦點是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求的內(nèi)切圓面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若是偶函數(shù),求的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時,有且只有一個實數(shù)根,求的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根,,證明:.
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【題目】某機構(gòu)對某市工薪階層的收入情況與超前消費行為進(jìn)行調(diào)查,隨機抽查了200人,將他們的月收入(單位:百元)頻數(shù)分布及超前消費的認(rèn)同人數(shù)整理得到如下表格:
月收入(百元) | ||||||
頻數(shù) | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
認(rèn)同超前消費的人數(shù) | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認(rèn)為當(dāng)月收入以8000元為分界點時,該市的工薪階層對“超前消費”的態(tài)度有差異;
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 總計 | |
認(rèn)同 | |||
不認(rèn)同 | |||
總計 |
(2)若從月收入在的被調(diào)查對象中隨機選取2人進(jìn)行調(diào)查,求至少有1個人不認(rèn)同“超前消費”的概率.
參考公式:(其中).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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