Question

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費(fèi)為每件40元，若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)，則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．
(1)把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；
(2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過(guò)3000件，且產(chǎn)品能全部銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每件產(chǎn)品的銷售價(jià)Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：Q(x)＝170－0.05x，試問(wèn)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最高？(總利潤(rùn)＝總銷售額－總成本)

Answer 1

（1）P(x)＝＋40＋0.05x，每件產(chǎn)品成本的最小值為90元
（2）生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高總利潤(rùn)為29750元

解：(1)P(x)＝＋40＋0.05x，
由基本不等式得
P(x)≥2＋40＝90.
當(dāng)且僅當(dāng)＝0.05x，即x＝500時(shí)，等號(hào)成立．
∴P(x)＝＋40＋0.05x，每件產(chǎn)品成本的最小值為90元．
(2)設(shè)總利潤(rùn)為y元，則
y＝xQ(x)－xP(x)＝－0.1x²＋130x－12500＝－0.1(x－650)²＋29750.
當(dāng)x＝650時(shí)，y_max＝29750.
答：生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高總利潤(rùn)為29750元．