Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）在軸上，是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，直接求出，即可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用一元二次方程有兩個不等的實數(shù)解的條件；（3）利用設(shè)而不求的方法，設(shè)出要求的常數(shù)，并利用多項式的恒等條件（相同次項的系數(shù)相等）

（1）由已知可得，解得，，

所求的橢圓方程為.

（2）直線的斜率一定存在，設(shè)點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，

由，得，

則

所以的取值范圍是.

（3）設(shè)，

則．

又，

，

設(shè)存在點(diǎn)，則，，

所以

，

要使得(為常數(shù))，只要，

從而，

即

由（1）得，

代入（2）解得，從而，

故存在定點(diǎn)，使恒為定值.