【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=2,E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PC上,且PF=λPC.

(1)求直線CE與直線PD所成角的余弦值;
(2)當(dāng)直線BF與平面CDE所成的角最大時(shí),求此時(shí)λ的值.

【答案】
(1)解:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(1,1,0)、P(0,0,2)、D(1,0,0)、E(0, ,1),

=(﹣1,﹣ ,1), =(1,0,﹣2),

∴cos< , >= = =﹣ ,

∴CE與PD所成角的余弦值為


(2)解:點(diǎn)F在棱PC上,且PF=λPC,∴ ,

∴F(λ,λ,﹣2λ), =(λ,λ﹣1,2﹣2λ),

=(0,﹣1,0), =(﹣1,﹣ ,1).

設(shè) 為平面CDE的法向量,

,取x=1,得 =(1,0,1)

設(shè)直線BF與平面CDE所成的角為θ,

則sinθ=|cos< , >|= =

令t=2﹣λ,則t∈[1,2],∴sinθ= = ,

當(dāng) ,即t= ∈[1,2]時(shí), 有最小值 ,此時(shí)sinθ取得最大值為 ,

即BF與平面CDE所成的角最大,此時(shí) = ,即λ的值為


【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出CE與PD所成角的余弦值.(2)求出平面CDE的法向量,利用向量法能求出λ的值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角,需要了解異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

10

乙班

30

合計(jì)

105

已知在全部105人中隨機(jī)抽取一人為優(yōu)秀的概率為.

(1)請完成上面的列聯(lián)表;

(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,能否認(rèn)為成績與班級(jí)有關(guān)系;

(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從211進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào).試求抽到1011號(hào)的概率.

參考公式和數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

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