Question

雙曲線C與橢圓有相同的熱點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線.

（1）  求雙曲線C的方程；

（2）  過點(diǎn)P(0,4)的直線l，求雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng) =，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

    由橢圓

求得兩焦點(diǎn)為，

對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線

  解得，

雙曲線的方程為

（Ⅱ）解法一：

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程：，

則

∴

∴

∵在雙曲線上，

∴

∴

∴

同理有：

若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.∴

∴是二次方程的兩根.

∴

∴，

此時(shí)∴.

∴所求的坐標(biāo)為.

解法二：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程，，則.

，

∴分的比為.

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

下同解法一

解法三：

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程：，則.

，

∴.

∴，

∴，

又，

∴

即

將代入得

，否則與漸近線平行。

∴。

∴

∴

∴

解法四：

由題意知直線得斜率存在且不等于零，設(shè)的方程：，

則

,

∴。

∴

同理  

∴.

即     。                                         （*）

又 

消去得.

當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。

由韋達(dá)定理有：

代入（*）式得

所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為