Question

已知函數(shù)的定義域是，是的導(dǎo)函數(shù)，且在
內(nèi)恒成立．
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
若，求的取值范圍；
(3) 設(shè)是的零點，，求證：.

Answer 1

(1);(2) ;(3)詳見解析.

試題分析：（1）利用求導(dǎo)的思路求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從分借助；（2）首先對求導(dǎo)，然后借助已知的不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，進而采用構(gòu)造函數(shù)的技巧，，通過求導(dǎo)研究其最大值，從而得到的取值范圍；（3）借助第一問結(jié)論，得到，然后通過變形和構(gòu)造的思路去證明不等式成立.
試題解析：（1），∵在內(nèi)恒成立
∴在內(nèi)恒成立，
∴的單調(diào)區(qū)間為                                     4分
（2），∵在內(nèi)恒成立
∴在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，
設(shè)，
，，，，
故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
∴，∴                    8分
（3）∵是的零點，∴由（1），在內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時，，即，
∴時，∵，∴，
且即
∴，
∴                                                  14分