Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，且a₁=8，S_n=16-ka_n，n∈N^*．
（I）求k的值及a_n；
（II）設(shè)f（n）=

an     (n為奇數(shù)) log2f( n 2 )   (n為偶數(shù))

，b_n=f（2ⁿ+1）（n∈N^*）
（i）求b_n；      
（ii）令c_n=（b_n-3）log₂a_n，求{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（I）由a₁=S₁=16-ka₁=8，可得k=1，從而S_n=16-a_n，當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項；
（II）（i）f（n）=

24-n     (n為奇數(shù)) log2f( n 2 )   (n為偶數(shù))

，利用b_n=f（2ⁿ+1）可求；
（ii）c_n=（b_n-3）log₂a_n=

0，n=1 (n-4)•2n-1，n≥2

，利用錯位相減法，可求數(shù)列的和．

解答：解：（I）由a₁=S₁=16-ka₁=8，可得k=1（1分）
∴S_n=16-a_n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（16-a_n）-（16-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴a_n=

1

2

a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項為8，公比為

1

2

（2分）
∴a_n=2^4-n（n∈N^*）；（4分）
（II）（i）f（n）=

24-n     (n為奇數(shù)) log2f( n 2 )   (n為偶數(shù))

∴b_n=f（2ⁿ+1）=23-2n（8分）
（ii）c_n=（b_n-3）log₂a_n=

0，n=1 (n-4)•2n-1，n≥2

（10分）
∴n≥2時，T_n=（-2）×2+（-1）×2²+…+（n-4）•2^n-1①
∴2T_n=（-2）×2²+（-1）×2³+…+（n-4）•2ⁿ②
①-②得：-T_n=-7+

2n-1

2-1

-（n-4）•2ⁿ=-8+2ⁿ-（n-4）•2ⁿ
∴T_n=8+（n-5）•2ⁿ（n≥2）
T₁=0也滿足上式
∴T_n=8+（n-5）•2ⁿ．    （12分）

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項與求和以及a_n與S_n的關(guān)系，用分段函數(shù)形式表示f（n），考查分段函數(shù)的意義，而且考查了學(xué)生思維的嚴謹性，難度中檔偏上．