Question

已知cosx，），，設(shè)函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若α∈[]且f（α）=，求f（）的值．

Answer 1

【答案】分析：由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及模的計(jì)算法則列出f（x）的函數(shù)解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（α）=，將x=α代入函數(shù)解析式，得到sin（2α+）的值，由α的范圍得到2α+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2α+）的值，將x=α-代入函數(shù)解析式中，整理后將角度變形為（2α+）-，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，將求出的sin（2α+）和cos（2α+）的值代入，即可求出值．
解答：解：∵=（3cosx，cosx），=（sinx，cosx），
∴f（x）=•+||²-=3cosxsinx+2cos²x+sin²x+2cos²x-
=sin2x+3cos²x-=sin2x+（1+cos2x）-
=3（sin2x+cos2x）
=3sin（2x+），
（Ⅰ）當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x+∈[，]，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴-≤3sin（2x+）≤3，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-，3]；
（Ⅱ）∵f（α）=，∴3sin（2α+）=，
∴sin（2α+）=，又α∈[，]，
∴2α+∈[，]，
∴cos（2α+）=-=-，
∴f（α-）=3sin[2（α-）+]=3sin2α
=3sin[（2α+）-]=3sin（2α+）cos-3cos（2α+）sin
=3××-3×（-）×=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．