Question

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，其一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，若拋物線與直線相切．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，設(shè)動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為．若點(diǎn)滿足：，其中是上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在兩個定點(diǎn)，且為橢圓的兩個焦點(diǎn)，使得為定值，其坐標(biāo)為．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與直線相切，聯(lián)立方程組并化簡， 利用，求得的值，進(jìn)一步可得；

應(yīng)用離心率求，得解.

（2）設(shè)，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.

由及確定的坐標(biāo)關(guān)系，

導(dǎo)出，作出判斷.

試題解析：

（1）由，

拋物線與直線相切，

2分

拋物線的方程為：，其準(zhǔn)線方程為：，

離心率， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分

（2）設(shè)，，

則

當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡

的軌跡方程為： 7分

由得

設(shè)分別為直線，的斜率，由題設(shè)條件知

因此 9分

因為點(diǎn)在橢圓上，

所以，

故

所以，從而可知：點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，

存在兩個定點(diǎn)，且為橢圓的兩個焦點(diǎn)，使得為定值，其坐標(biāo)為． 13分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的線性運(yùn)算.