Question

（08年新建二中五模理） 設(shè)函數(shù)其中常數(shù)為整數(shù).

　 ⑴當(dāng)為何值時(shí),；

　 ⑵定理：若函數(shù)在上連續(xù),且與異號(hào),則至少存在一點(diǎn),使.

     試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)時(shí),方程,在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

Answer 1

解析:（１）函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù)，且

．

當(dāng)x∈(-m,1-m)時(shí),　，f(x)為減函數(shù),　f(x)>f(1-m)；

當(dāng)x∈(1-m, +∞)時(shí),　 ，f(x)為增函數(shù),　f(x)>f(1-m)．

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且

對(duì)x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m，故當(dāng)整數(shù)m≤1時(shí)，f(x) ≥1-m≥0．

(２)由（I）知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1-m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù)．

，

由所給定理知，存在唯一的，而當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，

類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的，

故當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)=0在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．