Question

（12分）已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）. 

解析試題分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)建立等式關(guān)系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，要使f(x)-a²＞
恒成立，只需f(x) _min＞a²+，即可求出a的范圍．
解：（Ⅰ）.    ∵是的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴是方程的一個(gè)根，解得.  
令，則，解得或.
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（Ⅱ）∵當(dāng)時(shí)，時(shí)，
∴在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增.  
∴是在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 . 
若當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只需，
即，解得 . 
考點(diǎn)：本題主要考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于中檔題
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，那么得到參數(shù)b的值，然后求解二次不等式同時(shí)能將不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)換為求解函數(shù)的最小值大于參數(shù)問題。即f(x) _min＞a²+體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸思想的和運(yùn)用。