Question

設(shè)f（x）=2x³+ax²+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，且f′（1）=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對(duì)f（x）求導(dǎo)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，由對(duì)稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x²+x+m-2＞0恒成立，由此可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³+ax²+bx+1，∴f′（x）=6x²+2ax+b
∵函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對(duì)稱，
∴-

a

6

=-

1

2

∴a=3
又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
∴a=3，b=-12；
（Ⅱ）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立
即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x²+x+m-2＞0恒成立     
∴△=1-4（m-2）＜0，
解得m＞

9

4

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

9

4

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．