已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓的方程為它的離心率為,一個焦點是(-1,0),過直線上一點引橢圓的兩條切線,切點分別是A、B.
(1)求橢圓的方程;
(2)若在橢圓上的點處的切線方程是.求證:直線AB恒過定點C,并求出定點C的坐標;
(3)是否存在實數(shù),使得求證: (點C為直線AB恒過的定點).若存在,請求出,若不存在請說明理由
(I)橢圓方程為. (II)直線AB恒過定點. (III)
解析試題分析:(I)設(shè)橢圓方程為的焦點是,故,又,所以,所以所求的橢圓方程為. 4分
(II)設(shè)切點坐標為,,直線上一點M的坐標,則切線方程分別為,,又兩切線均過點M,即,即點A,B的坐標都適合方程,故直線AB的方程是,顯然直線恒過點(1,0),故直線AB恒過定點. 8分
(III)將直線AB的方程,代入橢圓方程,得
,即,
所以,不妨設(shè),
,同理, 12分
所以
,
即, 14分
考點:本題主要考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,存在性問題研究。
點評:難題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)。對于存在性問題,往往先假設(shè)存在,利用已知條件加以探究,以明確計算的合理性。本題(III)通過假設(shè)t,利用韋達定理進一步確定相等長度,明確了關(guān)系。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標原點,兩個焦點分別為,,點在橢圓 上,過點的直線與拋物線交于兩點,拋物線在點處的切線分別為,且與交于點.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點? 若存在,指出這樣的點有幾個(不必求出點的坐標); 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓:的左、右焦點分別為,已知橢圓上的任意一點,滿足,過作垂直于橢圓長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過的直線交橢圓于兩點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直角坐標平面上,為原點,為動點,,. 過點作軸于,過作軸于點,. 記點的軌跡為曲線,
點、,過點作直線交曲線于兩個不同的點、(點在與之間).
(1)求曲線的方程;
(2)是否存在直線,使得,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示的曲線是由部分拋物線和曲線“合成”的,直線與曲線相切于點,與曲線相切于點,記點的橫坐標為,其中.
(1)當時,求的值和點的坐標;
(2)當實數(shù)取何值時,?并求出此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,一條經(jīng)過點且方向向量為的直線交橢圓于兩點,交軸于點,且.
(1)求直線的方程;
(2)求橢圓長軸長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓的離心率,且短半軸為其左右焦點,是橢圓上動點.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)當時,求面積;
(Ⅲ)求取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,焦點到相應(yīng)準線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點到直線的距離為,求面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分10分)
已知點,參數(shù),點Q在曲線C:上.
(1)求在直角坐標系中點的軌跡方程和曲線C的方程;
(2)求|PQ|的最小值.
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