Question

（2013•嘉興一模）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=

2

，AD=BD：EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD 且有EC=FD=2．
（Ⅰ）求證：AD丄BF；
（Ⅱ）若線段EC的中點為M，求直線AM與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）梯形ABCD中，根據(jù)勾股定理和等腰三角形的判定，可得∠ADB=90°即AD⊥BD，結(jié)合AD⊥DF利用線面垂直的判定定理，證出AD⊥平面BDF，進而可得AD丄BF；
（II）過點M作MN⊥BE，垂足為N，連接NA，AC．利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出MN⊥平面ABEF，從而得到∠MAN就是直線AM與平面ABEF所成角．Rt△BCE中利用相似算出MN=

3

3

，分別在Rt△ABC、Rt△ACM中運用勾股定理，算出AM=

11

．最后在Rt△MAN中利用正弦的定義，即可算出直線AM與平面ABEF所成角的正弦值等于

33

33

．

解答：解：（I）∵BC⊥DC，BC=CD=

2

，
∴BD=

BC2+CD2

=2，且△BCD是等腰直角三角形，∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中，AB∥DC，∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD，可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF，∴AD丄BF
（II）如圖，過點M作MN⊥BE，垂足為N，連接NA，AC
∵AB⊥BC，AB⊥EC，BC∩EC=E，∴AB⊥平面BEC
∵MN?平面BEC，∴AB⊥MN，
結(jié)合MN⊥BE且BE∩AB=B，可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF內(nèi)的射影，可得∠MAN就是直線AM與平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

10

，∴Rt△ACM中，AM=

AC2+CM2

=

11

．
∵△EMN∽△EBC，∴

MN

BC

=

EN

EC

MN

BC

=

EM

EB

，可得MN=

3

3

因此，在Rt△MAN中，sin∠MAN=

MN

AM

=

33

33

即直線AM與平面ABEF所成角的正弦值是

33

33

．

點評：本題給出由四棱錐與三棱錐組合而成的幾何體，求證線線垂直并求直線與平面所成角正弦值，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．．