Question

已知關(guān)于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圓，求m的取值范圍；
（2）若圓C與圓x²+y²-8x-12y+36=0外切，求m的值；
（3）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的方程配方后，令等號(hào)右邊的式子大于0列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即為方程為圓時(shí)m的取值范圍；
（2）根據(jù)兩圓外切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，所以利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心之間的距離d，表示出圓C的半徑r，找出已知圓的半徑R，令d=R+r列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可求出此時(shí)m的值；
（3）先求出圓心C到直線l的距離d，然后根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由

1

2

|MN|和圓的半徑

5-m

及求出的距離d列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）把方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，
若方程C表示圓，則5-m＞0，解得m＜5；
（2）把圓x²+y²-8x-12y+36=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-4）²+（y-6）²=16，得到圓心坐標(biāo)（4，6），半徑為4，
則兩圓心間的距離d=

(4-1)2+(6-2)2

=5，
因?yàn)閮蓤A的位置關(guān)系是外切，所以d=R+r即4+

5-m

=5，解得m=4；
（3）因?yàn)閳AC圓心C的坐標(biāo)為（1，2），則圓心C到直線l的距離d=

1

5

=

5

5

，
所以(

5-m

)2=（

1

2

|MN|）²+d²，即5-m=1，解得m=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握二元二次方程表示圓的條件，掌握兩圓外切時(shí)兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡求值，是一道綜合題．