【題目】一房產(chǎn)商競(jìng)標(biāo)得一塊扇形OPQ地皮,其圓心角∠POQ= ,半徑為R=200m,房產(chǎn)商欲在此地皮上修建一棟平面圖為矩形的商住樓,為使得地皮的使用率最大,準(zhǔn)備了兩種設(shè)計(jì)方案如圖,方案一:矩形ABCD的一邊AB在半徑OP上,C在圓弧上,D在半徑OQ;方案二:矩形EFGH的頂點(diǎn)在圓弧上,頂點(diǎn)G,H分別在兩條半徑上.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算,為房產(chǎn)商提供決策建議.
【答案】解:按方案一:如圖,連OC,設(shè) ,
在Rt△OBC中,BC=Rsinx,OB=Rcosx,則DA=Rsinx
在Rt△OAD中, ,得 ,
則 ,設(shè)矩形ABCD的面積為y,則
y=ABBC= = sin(2x+ )﹣ ,
由 得 .
所以當(dāng) ,即 時(shí) .
按方案二:如圖作∠POQ的平分線(xiàn)分別交EF,GH于點(diǎn)M,N,連OE.
設(shè) ,在Rt△MOE中,ME=Rsinα,OM=Rcosα
在Rt△ONH中, ,得 ,
則 ,設(shè)矩形EFGH的面積為S,
則S=2MEMN=2R2sinα(cosα﹣ sinα)=R2(sin2α+ cos2α﹣ )=
由 ,則 ,所以當(dāng) ,即 時(shí) ∵ ,即ymax>Smax
答:給房產(chǎn)商提出決策建議:選用方案一更好.
【解析】分類(lèi)討論,按照方案一,二的要求進(jìn)行討論.
方案一:連OC,設(shè) ,設(shè)矩形ABCD的面積為y,則y=ABBC,通過(guò)代入化簡(jiǎn),由三角函數(shù)的最值確定的條件,可以得出答案;方案二:作∠POQ的平分線(xiàn)分別交EF,GH于點(diǎn)M,N,連OE.設(shè) ,設(shè)矩形EFGH的面積為S,求出S的式子,由三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值.
最后,比較二者最大值的大小,選出最大值即可得出答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】底面是正方形的四棱錐中中,側(cè)面底面,且是等腰直角三角形,其中,分別為線(xiàn)段的中點(diǎn),問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使得二面角的余弦值為,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=tx2-(22t+60)x+144t(x>0).
(1)要使f(x)≥0恒成立,求t的最小值;
(2)令f(x)=0,求使t>20成立的x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)不透明的箱子,每個(gè)箱子都裝有4個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.
(1)甲從其中一個(gè)箱子中摸出一個(gè)球,乙從另一個(gè)箱子摸出一個(gè)球,誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;
(2)摸球方法與(1)同,若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字相同甲獲勝,所標(biāo)數(shù)字不相同則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)事件表示“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”.
(1)若、,求事件發(fā)生的概率;
(2)若、,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若,關(guān)于的不等式恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黃種人群中各種血型的人所占的比例如下:
血型 | A | B | AB | O |
該血型的人所占比例(%) | 28 | 29 | 8 | 35 |
已知同種血型的人可以輸血,O型血可以輸給任何一種血型的人,其他不同血型的人不能互相輸血,小明是B型血,若小明因病需要輸血,問(wèn):
(1)任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少?
(2)任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某觀測(cè)站在港口A的南偏西40°方向的C處,測(cè)得一船在距觀測(cè)站31海里的B處,正沿著從港口出發(fā)的一條南偏東20°的航線(xiàn)上向港口A開(kāi)去,當(dāng)船走了20海里到達(dá)D處,此時(shí)觀測(cè)站又測(cè)得CD等于21海里,問(wèn)此時(shí)船離港口A處還有多遠(yuǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家電公司銷(xiāo)售部門(mén)共有200位銷(xiāo)售員,每位部門(mén)對(duì)每位銷(xiāo)售員都有1400萬(wàn)元的年度銷(xiāo)售任務(wù),已知這200位銷(xiāo)售員去年完成銷(xiāo)售額都在區(qū)間(單位:百萬(wàn)元)內(nèi),現(xiàn)將其分成5組,第1組,第2組,第3組,第4組,第5組對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為, , , , ,繪制出頻率分布直方圖.
(1)求的值,并計(jì)算完成年度任務(wù)的人數(shù);
(2)用分層抽樣從這200位銷(xiāo)售員中抽取容量為25的樣本,求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù);
(3)現(xiàn)從(2)中完成年度任務(wù)的銷(xiāo)售員中隨機(jī)選取2位,獎(jiǎng)勵(lì)海南三亞三日游,求獲得此獎(jiǎng)勵(lì)的2位銷(xiāo)售員在同一組的概率.
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