Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（a﹣2，0），N（a+2，0），P（0，﹣2），其中a∈R．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l交軌跡E于不同的兩點(diǎn)A、B，直線(xiàn)OA與直線(xiàn)OB分別交直線(xiàn)y=2于兩點(diǎn)C、D，記△ACD與△BCD的面積分別為S1 ， S2 ． 求S1+S2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為（x，y），則 ，可知 ．

所以動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程

（2）解：直線(xiàn)l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為y=kx﹣2，

與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得x2+4kx﹣8=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣8，

設(shè)直線(xiàn)OA方程為y= x，

y=2，得C的橫坐標(biāo)﹣ ．

同理得D的橫坐標(biāo)﹣ ，

所以|CD|=| |=4 ，

所以S1= =2（4﹣kx1） ，

同理S2=2（4﹣kx2） ，

則S1+S2=8

令t= ，（t≥ ），則S1+S2=8t3

令f（t）=8t3，則f′（t）=24t2，t 時(shí)，f′（t）＞0

所以f（t）=8t3是[ ）的增函數(shù)，所以f（t） ，

即S1+S2的最小值為16

【解析】（1）利用直接法求動(dòng)圓圓心的軌跡E的方程；（2）直線(xiàn)l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為y=kx﹣2，求出S1 ， S2 ． 利用導(dǎo)數(shù)的方法求S1+S2的最小值．