如圖所示,已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=a,AB⊥平面BCD,AB=
3a
,E,F(xiàn)分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1).
(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD?
(3)在(2)成立時(shí),求BD與平面BEF所成角的正弦值.
分析:(1)利用面面垂直的判定定理去證明.(2)利用面面垂直的性質(zhì)求解.(3)利用線面所成角的定義求解.
解答:解:(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面BCD,
所以AB⊥CD
又在△BCD中,∠BCD=90°,
∴BC⊥CD,又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC
又在△ACD中,E,F(xiàn)分別是AC,AD上的動(dòng)點(diǎn),且
AE
AC
=
AF
AD
,
∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,
又EF?平面BEF,
所以平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知EF⊥平面ABC,
BE?平面ABC,
∴BE⊥EF,假設(shè)面BEF⊥面ACD,
則BE⊥平面ACD,AC?平面ACD,
所以BE⊥AC,
∵BC=CD=a,∠BCD=90°,
BD=
2
a
,∴AC=
AB2+BC2
=2a
,
AB2=AE•AC⇒AE=
3
2
a
⇒λ=
AE
AC
=
3
4


(3)過(guò)點(diǎn)C作CM⊥面BCD,并建立空間坐標(biāo)系如圖,則B(a,0,0),D(0,a,0),A(a,0,
3
a
),
由(1)(2)知AC⊥平面BEF,所以平面BEF的一個(gè)法向量為
CA
=(a,0,
3
a)
,則
BD
=(-a,a,0)
,
所以|
CA
|=2a,|
BD
|=
2
a
,
設(shè)BD與平面BEF所成角的為θ,則sinθ=|cos<
CA
,
BD
>|=|
CA
?
BD
|
CA
||
BD
|
|=|
-a2
2a?
2
a
|=
2
4

即BD與平面BEF所成角的正弦值等于
2
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了面面垂直的判定和性質(zhì),要求熟練掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理,是解決本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知直線l的斜率為k且過(guò)點(diǎn)Q(-3,0),拋物線C:y2=16x,直線與拋物線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A(4,2)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求|PA|+|PF|的最小值;
(2)求k的取值范圍;
(3)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),問(wèn)是否存在點(diǎn)M,使過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線交于B,C兩點(diǎn),且以BC為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),若存在,求出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,已知△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,則AF:AC=
1:3
1:3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

A:如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,AC為弦,OD∥BC,交AC于點(diǎn)D,BC=4cm,
(1)試判斷OD與AC的關(guān)系;
(2)求OD的長(zhǎng);
(3)若2sinA-1=0,求⊙O的直徑.
B:(選修4-4)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),傾斜角α=
4

(1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)l與圓x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A、B,求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)均為2a,側(cè)棱長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面BB1CC1
(2)求二面角A1-BC-A的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,已知AA′∥BB′∥CC′,AB:BC=1:3,那么下列等式成立的是( 。
精英家教網(wǎng)
A、AB=2A′B′B、3A′B′=B′C′C、BC=B′C′D、AB=A′B′

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