Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定義域為[2，3]，值域為[1，4]；設g（x）=．

（1）求a，b的值；

（2）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據函數(shù)f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定義域為[2，3]，值域為[1，4]，其圖象對稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為1，最大值為4，列出方程可得實數(shù)a，b的值； （2）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分離變量k，在x∈[1，2]上恒成立，進而得到實數(shù)k的取值范圍．

(1）∵函數(shù)f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其圖象對稱軸為直線x=2，
函數(shù)的定義域為[2，3]，值域為[1，4]，
∴，
解得：a=3，b=12；
（2）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．
若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，
則k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，
2x∈[2，4]，∈[，]，當=，即x=1時，（）2-2（）+1取最小值，
故k≤．