【題目】如圖,正方形的邊長為2,分別為的中點,交于點,將沿折起到的位置,使平面平面

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)判斷線段上是否存在點,使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在點,使平面,此時的值為.

【解析】

(Ⅰ)先證明平面,又因為平面,所以平面平面;(Ⅱ)因為兩兩垂直,所以,以為原點,建立空間直角坐標系,再利用向量法求二面角的余弦值;(Ⅲ)設),利用向量法求得.所以存在點,使平面,此時的值為.

解:(Ⅰ)因為正方形中,分別為的中點,

所以,.

所以.

所以.

又因為平面,

平面平面,

平面平面,

所以平面.

又因為平面

所以平面平面.

(Ⅱ)因為兩兩垂直,所以,以為原點,建立空間直角坐標系

如圖,

,

所以,

由(Ⅰ)知,是平面的一個法向量.

設平面的法向量為

,即

,則,.所以.

.

由圖可知所求二面角為鈍角,

所以二面角的余弦值為.

(Ⅲ)設),

,

若使平面,則.

,解得.

所以存在點,使平面,此時的值為.

練習冊系列答案
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組號

分組

回答正確的人數(shù)

回答正確的人數(shù)

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1

2

3

4

5

6

7

3

4

5

5

5

6

7

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