給定整數(shù)n≥2,設M0(x0,y0)是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點.試證明對任意正整數(shù)m,必存在整數(shù)k≥2,使(
xm0
,ym0
)為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點.
證明:y2=nx-1與y=x聯(lián)立,可得x2-nx+1=0,∴x=
n2-4
2

∴x0=y0=
n2-4
2

∴x0+
1
x0
=n≥2.…(5分)
若(
xm0
,
ym0
)為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點,則k=
xm0
+
1
xm0
.…(10分)
記km=
xm0
+
1
xm0
,由于k1=n是整數(shù),k2=
x20
+
1
x20
=(x0+
1
x0
2-2=n2-2也是整數(shù),
且km+1=km(x0+
1
x0
)-km-1=nkm-km-1,(m≥2)①
所以對于一切正整數(shù)m,km=
xm0
+
1
xm0
是正整數(shù),且km≥2現(xiàn)在對于任意正整數(shù)m,
取k=
xm0
+
1
xm0
,滿足k≥2,且使得y2=kx-1與y=x的交點為(
xm0
,
ym0
).…(12分)
練習冊系列答案
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(2010•江蘇模擬)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)α∈(0,1)以及D中的任意兩數(shù)x1,x2,恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f1(x)=x2,f2(x)=
1x
(x<0)
中哪些是各自定義域上的C函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)已知f(x)是R上的C函數(shù),m是給定的正整數(shù),設an=f(n),n=0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,記Sf=a1+a2+…+am.對于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

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x
m
0
,y
m
0
)為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點.

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