Question

【題目】【2014天津，文19】已知函數(shù)

（1） 求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若對(duì)于任意的，都存在，使得，求的取值范圍

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，當(dāng) 時(shí)， 取極小值 ，當(dāng) 時(shí)， 取極大值 ， (2)

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及極值，先明確定義域：R，再求導(dǎo)數(shù)在定義域下求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)：或，通過(guò)列表分析，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間及極值，即的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，當(dāng) 時(shí)， 取極小值 ，當(dāng) 時(shí)， 取極大值 ， (2)本題首先要正確轉(zhuǎn)化：“對(duì)于任意的，都存在，使得”等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系. 設(shè)集合，集合則，其次挖掘隱含條件，簡(jiǎn)化討論情況，明確討論方向. 由于，所以,因此，又，所以，即

試題解析：

解(1)由已知有令，解得或，列表如下：

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，當(dāng) 時(shí)， 取極小值 ，當(dāng) 時(shí)， 取極大值 ，(2)由及（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，集合則“對(duì)于任意的，都存在，使得”等價(jià)于.顯然.

下面分三種情況討論：

當(dāng)即時(shí)，由可知而，所以A不是B的子集

當(dāng)即時(shí)，有且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，因而由有在上的取值范圍包含，所以

當(dāng)即時(shí)，有且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故,,所以A不是B的子集

綜上，的取值范圍為