Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m
（1）當(dāng)a=﹣3，m=0時(shí)，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣3，m=0時(shí)，求方程f（x）﹣g（x）=0化為x2﹣4x﹣5=0，

解得：x=﹣1或x=5

（2）解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣4x+a+3的對(duì)稱(chēng)軸是x=2，

∴f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是減函數(shù)，

∵函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)，則必有：

，即 ，解得﹣8≤a≤0．

故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣8，0]

（3）解：若對(duì)任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，

只需函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）的值域的子集．

f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域?yàn)閇﹣1，3]，

下面求g（x）=mx+5﹣2m的值域．

①當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=5﹣2m為常數(shù)，不符合題意舍去；

②當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3][5﹣m，5+2m]，

需 ，解得m≥6；

③當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3][5+2m，5﹣m]，

需 ，解得m≤﹣3．

綜上，m的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）

【解析】（1）直接把a(bǔ)=﹣3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，得到f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是減函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上存在零點(diǎn)得不等式組 ，求解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）把對(duì)任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)．