Question

【題目】在三棱錐中，是正三角形，面面，，，、分別是、的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值．

（1）取的中點(diǎn)，連接、，

，，且．

又，面，又面，；

（2）由面面，平面平面，，平面，可得面.

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，， ，.

，，設(shè)為平面EFC的一個(gè)法向量

由，取，則，． .

又為面的一個(gè)法向量，由

如圖知二面角的余弦值為.