Question

設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=1，S₈=17．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在最小正整數(shù)m，使得當(dāng)n＞m時(shí)，an＜

2011

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恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₄=1，S₈=17，得到公比q不等于1，所以根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡兩等式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的兩方程，兩方程相除即可消去首項(xiàng)，求出公比的值，把公比的值代入其中一個(gè)方程即可求出首項(xiàng)的值，由首項(xiàng)和公比的值寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通項(xiàng)公式代入an＜

2011

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中，化簡后根據(jù)2011的范圍把2011夾在2的11次方和2的12次方之間，即可求出不存在n的最小正整數(shù)解，使n大于此時(shí)的最小正整數(shù)時(shí)不等式恒成立．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由S₄=1，S₈=17知q≠1，
則

a1(1-q4)

1-q

=1，

a1(1-q8)

1-q

=17，相除得：

1-q8

1-q4

=17，解得q⁴=16，所以q=2或q=-2（舍去），
將q=2代入得a₁=

1

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，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2n-1

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；
（Ⅱ）由a_n=

2n-1

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＜

2011

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，得2^n-1＜2011，
而2¹⁰＜2011＜2¹¹，所以n-1≤10，即n≤11，
因此，不存在最小的正整數(shù)，使得n≥m時(shí)，a_n＞

2011

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恒成立．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式化簡求值，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．