Question

【題目】三棱柱中，平面平面，，，，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得到，利用平面平面的性質(zhì)得到平面，從而得到，根據(jù)勾股定理得到，從而得到，利用線面垂直的判定得到平面，從而證明.

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值即可.

（1）因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，

所以平面，而平面，故，

又因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)樵谌�棱�?/span>中，，

所以，，

又，故平面，

又平面，所以.

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，為，，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)，由得：，

又，設(shè)平面的法向量為，

，

因?yàn)?/span>，

設(shè)直線與平面所成角為，則，

解得：.

又平面的一個(gè)法向量，

又，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，

則平面的一個(gè)法向量為

設(shè)二面角的平面角為，

則，

又因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為銳角，

則二面角的余弦值為.