Question

（08年黃岡中學(xué)三模理）如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于，如果

以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得△的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓長半軸為，半焦距為，當(dāng)時(shí)，，.

∵，∴

故橢圓方程為，右準(zhǔn)線方程為    

（Ⅱ）依題意設(shè)直線的方程為：，R

聯(lián)立  得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

將代入得.

         設(shè)，由韋達(dá)定理得.

又,

      

   因?yàn)?IMG height=16 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090324/20090324103105012.gif' width=20>R,于是的值可能小于零,等于零,大于零,

即點(diǎn)可在圓內(nèi), 圓上或圓外.

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由題設(shè)有.

又設(shè)，有

設(shè)，對(duì)于拋物線，；

對(duì)于橢圓，，

即.

由 解得 ,

∴,    從而 .

因此，三角形的邊長分別是 .

     所以時(shí)，能使三角形的邊長是連續(xù)的自然數(shù).