精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2012•自貢三模)對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義f′(x)是y=f(x)的導函數y=f′(x)的導函數,若方程f′(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”,可以發(fā)現,任何三次函數都有“拐點”,任何三次函數都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心,請你根據這一發(fā)現判斷下列命題:
①任意三次函數都關于點(-
b
3a
,f(-
b
3a
))對稱:
②存在三次函數f′(x)=0有實數解x0,點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的對稱中心;
③存在三次函數有兩個及兩個以上的對稱中心;
④若函數g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,則,g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)=-105.5.
其中正確命題的序號為
①②④
①②④
(把所有正確命題的序號都填上).
分析:①根據函數f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心;
②③利用三次函數對稱中心的定義和性質進行判斷;
④由g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的對稱中心是(
1
2
,-
1
2
),得g(x)+(g(1-x)=-1,由此能求出g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
).
解答:解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∴f′(x)=3ax2+2bx+c,f''(x)=6ax+2b,
f(x)=6a×(-
b
3a
)+2b=0

∴任意三次函數都關于點(-
b
3a
,f(-
b
3a
))對稱,即①正確;
∵任何三次函數都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心,
∴存在三次函數f′(x)=0有實數解x0,點(x0,f(x0))為y=f(x)的對稱中心,即②正確;
任何三次函數都有且只有一個對稱中心,故③不正確;
∵g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,
∴g′(x)=x2-x,g''(x)=2x-1,
令g''(x)=2x-1=0,得x=
1
2

∵g(
1
2
)=
1
3
×(
1
2
)
3
-
1
2
×(
1
2
)2-
5
12
=-
1
2
,
∴函數g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的對稱中心是(
1
2
,-
1
2
),
∴g(x)+(g(1-x)=-1,
∴g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)=-105.5,故④正確.
故答案為:①②④.
點評:本小題主要考查函數與導數等知識,考查化歸與轉化的數學思想方法,考查化簡計算能力,求函數的值以及函數的對稱性的應用,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•自貢三模)已知G是△ABC的重心,且a
GA
+b
GB
+
3
c
GC
=
0
,其中a,b,c分別為角A、B、C的對邊,則cosc=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•自貢三模)在三棱錐A-BCD中,側棱AB、AC、AD兩兩垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面積分別為
2
2
,
3
2
,
6
2
,則三棱錐A-BCD的外接球的體積為
6
π
6
π

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•自貢三模)已知圓C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直線l:x-y+3=0,當直線l被C截得弦長為2
3
時,則a=
2
-1
2
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•自貢三模)若(x2+
1
ax
)6
的展開式中的常數項為
15
16
,則實數a
±2
±2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案