Question

已知m是正整數(shù)，若關(guān)于x的方程2x-m

10-x

-m+10=0有整數(shù)解，則x所有可能的取值的和等于

20

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)方程2x-m

10-x

-m+10=0求得m=

2x+10

1+ 10-x

，再假設(shè)y=

10-x

，（y為非負(fù)整數(shù)），則求得x代入轉(zhuǎn)化為y的方程．利用整數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)一步確定y的值，進(jìn)而求得m的值．

解答：解：2x-m

10-x

-m+10=0有整數(shù)解，
顯然滿(mǎn)足條件的x，必使得

10-x

為整數(shù)，否則m=

2x+10

1+ 10-x

不可能為整數(shù)，設(shè)y=

10-x

，（y為非負(fù)整數(shù)），
則m=

2(10-y2)+10

1+y

=

2(1-y2)+28

1+y

=2（1-y）+

28

1+y

，∵y為非負(fù)整數(shù) （又1+y能整除28），
∴要使m為正整數(shù)，則1+y=1，2，4，
所以y=0，1，3，此時(shí)x=10，9，1，x所有可能的取值的和等于20
故答案為：20

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程整數(shù)根與有理根．解決本題巧妙運(yùn)用整數(shù)的特點(diǎn)及在分?jǐn)?shù)計(jì)算中整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系求解