【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥C,AD=DC=CB=1,∠ABC═60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)求證:BC⊥平面ACFE;
(2)求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值;
(3)若點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng),設(shè)平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.
【答案】
(1)證明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC,
∵平面ACFE⊥平面ABCD,
平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
(2)解:取FB中點(diǎn)G,連接AG,CG,
∵AF= =2,∴AB=AF,∴AG⊥FB,
∵CF=CB=1,∴CG⊥FB,∴∠AGC=θ,
∵BC=CF,∴FB= ,∴CG= ,AG= ,
∴cosθ= = .
(3)解:由(2)知:
①當(dāng)M與F重合時(shí),cosθ= .
②當(dāng)M與E重合時(shí),過B作BN∥CF,且使BN=CF,
連接EN,F(xiàn)N,則平面MAB∩平面FCB,
∵BC⊥CF,AC⊥CF,∴CF⊥平面ABC,∴BN⊥平面ABC,
∴∠ABC=θ,∴θ=60°,∴cosθ= .
③當(dāng)M與E,F(xiàn)都不重合時(shí),令FM=λ,0<λ< ,
延長AM交CF的延長線于N,連接BN,
∴N在平面MAB與平面FCB的交線上,
∵B在平面MAB與平面FCB的交線上,
∴平面MAB∩平面FCB=BN,
過C作CH⊥NB交NB于H,連接AH,
由(1)知,AC⊥BC,
又∵AC⊥CN,∴AC⊥平面NCB,∴AC⊥NB,
又∵CH⊥NB,AC∩CH=C,∴NB⊥平面ACH,
∴AH⊥NB,∴∠AHC=θ,
在△NAC中,NC= ,
從而在△NCB中,CH= ,
∵∠ACH=90°,∴AH= = ,
∴cosθ= = ,
∵0 ,
∴ ,
綜上所述,cosθ∈[ , ].
【解析】(1)在梯形ABCD中,由AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,推導(dǎo)出AB2=AC2+BC2 , BC⊥AC,由平面ACFE⊥平面ABCD,能證明BC⊥平面ACFE.(2)取FB中點(diǎn)G,連接AG,CG,由AF= =2,知AB=AF,AG⊥FB,由CF=CB=1,CG⊥FB,∠AGC=θ,由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值.(3)由點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng),分當(dāng)M與F重合,M與E重合時(shí),當(dāng)M與E,F(xiàn)都不重合三種情況進(jìn)行分類討論,能求出cosθ的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f.
(1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(3)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =( sin3x,﹣y), =(m,cos3x﹣m)(m∈R),且 + = .設(shè)y=f(x).
(1)求f(x)的表達(dá)式,并求函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)在△ABC中,f(A)=﹣ ,且A> π,D為邊BC上一點(diǎn),AC= DC,BD=2DC,且AD=2 ,求線段DC的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對理科題的概率均為 ,答對文科題的概率均為 ,若每題答對得10分,否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BC邊上的高AM所在的直線方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0與BC相交于點(diǎn)P,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).
(1)分別求AB和BC所在直線的方程;
(2)求P點(diǎn)坐標(biāo)和AC所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列 ,,,具有性質(zhì)對任意,, 與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng),現(xiàn)給出以下四個(gè)命題:
①數(shù)列,,具有性質(zhì); ②數(shù)列,,,具有性質(zhì);
③若數(shù)列具有性質(zhì),則;④若數(shù)列,,具有性質(zhì),則.其中真命題有( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (k∈R).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k∈N*,且當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,求k的最大值.( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈(﹣∞,0),2x>3x;命題q:x∈(0, ),sinx>x,則下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∨q
C.(¬p)∧q
D.p∧(¬q)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)xOy中,圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
(1)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓C1 , C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓C1 , C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示);
(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.
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