Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點且，設(shè)線段的中點為，試問是否為的根？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不是的根

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由函數(shù) 在處取得極小值可得，從而可得，然后將代入到導(dǎo)函數(shù)，驗證函數(shù) 在處取得極小值即可；（2）由（1）知函數(shù),根據(jù)的圖象交軸于兩點，可推出，令，可得，再令，構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，可推出，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）∵

∴

由已知得.

∴

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴在處取得極小值，符合題意，故.

（2）由（1）知函數(shù).

∵函數(shù)圖象與軸交于， 兩個不同點

∴，兩式相減整理得： .

∵

∴

令，即.

∵

∴

令.

∵

∴

∴

設(shè)則

∵

∴

∴在上是增函數(shù)

∴

∴無解，即.

∴不是的根