【題目】在直三棱柱中，，，點，分別為棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析下（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，證明，進而證得得解；（2）在平面內(nèi)作交于點，以為原點，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求得平面的法向量，利用線面角的向量公式求解

（1）取的中點，連接，，

則在中，，，

又點是的中點，

所以．

而且，

所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）在平面內(nèi)作交于點，

以為原點，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，，，

所以，，．

設(shè)平面的一個法向量為，

則即

取，得，

設(shè)直線與平面所成角為，

則．

即直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四邊形是梯形，如圖，，，，為的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（如圖2），且

（1）求證：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=ex+sinx+ax（a∈R）.

（Ⅰ）當(dāng)a=﹣2時，求證：f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）若對任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若f（x）有最小值，請直接給出實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】南北朝時期的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為、，被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為、，則命題：“、相等”是命題“、總相等”的（ ）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國古代的設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.山西應(yīng)縣木塔是我國現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示.以該木塔底層的邊作方形，會發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對角線長度相等.以塔底座的邊作方形.作方圓圖，會發(fā)現(xiàn)方圓的切點正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸?/span>.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，木塔底層的邊不少于米，塔頂到點的距離不超過米，則該木塔的高度可能是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A.米B.米C.米D.米

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量(單位：克)分別在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400]中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示.

（1）現(xiàn)按分層抽樣的方法從質(zhì)量為[250，300)，[300，350)內(nèi)的芒果中隨機抽取6個，再從這6個中隨機抽取3個，求這3個芒果中恰有1個在[300，350)內(nèi)的概率；

（2）某經(jīng)銷商來收購芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10 000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：A方案：所有芒果以10元/千克收購；B方案：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購.通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)，的值：

（2）求證：當(dāng)時，在上有兩個極值點：

（3）設(shè)，若在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知△BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，若坐標(biāo)原點O為△BMN的重心，求點O到直線MN距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛傳知；第二次工業(yè)革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了翻天覆地的變化；之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則.使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實……此時此刻，5G的到來即將給人們的生活帶來顛覆性的變革，“5G領(lǐng)先”一方面是源于我國項層設(shè)計的宏觀布局，另一方面則來自于政府高度重視、企業(yè)積極搶灘、企業(yè)層面的科技創(chuàng)新能力和先發(fā)優(yōu)勢.某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，豐富的移動互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用等明顯優(yōu)勢，隨著技術(shù)的不斷完善，該公司的5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，業(yè)內(nèi)預(yù)測，該創(chuàng)新公司在第1個月至第7個月的5G經(jīng)濟收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表：

時間（月份）

1

2

3

4

5

6

7

收入（百萬元）

6

11

21

34

66

101

196

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖：

（1）為了更充分運用大數(shù)據(jù)、人工智能、5G等技術(shù)，公司需要派出員工實地考察檢測產(chǎn)品性能和使用狀況，公司領(lǐng)導(dǎo)要從報名的五名科技人員A、B、C、D、E中隨機抽取3個人前往，則A、B同時被抽到的概率為多少？

（2）根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并根據(jù)你判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；

（3）請你預(yù)測該公司8月份的5G經(jīng)濟收入.

參考數(shù)據(jù)：

462

10.78

2711

50.12

2.82

3.47

其中設(shè)，

參考公式：

對于一組具有線性相關(guān)系的數(shù)據(jù)（，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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