Question

（2009•宜春一模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，點E是線段PD上的動點．
（1）當(dāng)點E是PD的中點時，求二面角E-AC-D的大��；
（2）在（1）的條件下，求點D到平面EAC的距離；
（3）若點F是BC的中點且PF∥平面EAC時，求點E的位置．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接E，O，則EO∥PA，可得EO⊥面ABCD．　過點O作OH⊥AC交AC于H點，連接EH，利用三垂線定理可得EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．分別求出OE和OH即可．
（2）由（1）知：AC⊥平面EOH，于是平面EOH⊥平面EAC，過點O作OG⊥EH，垂足為G，
則OG⊥平面EAC，在△EOH中，可求出OG．由于點O是線段AD的中點，因此點O到平面EAC的距離OG是點D到平面EAC 距離的一半，即可．
（3）連接FD交AC于點S，PF∥平面EAC，利用線面平行的性質(zhì)定理可得PF∥ES，由F為BC中點，可得

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

，于是得到

PE

ED

=

FS

SD

=

1

2

．進(jìn)而得出點E的位置．

解答：解：（1）取AD的中點O，連接E，O，則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD．
　過點O作OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

1

2

AP=1，在△AHO中∠HAO=45°，
∴HO=AOsin45°=

2

2

，
∴tan∠EHO=

EO

HO

=

2

，
∴二面角E-AC-D等于arctan

2

．
（2）由（1）知：AC⊥OH，AC⊥EH，因此AC⊥平面EOH，
∴平面EOH⊥平面EAC，過點O作OG⊥EH，垂足為G，
則OG⊥平面EAC，在△EOH中，易求：OG=

3

3

．
又∵點O是線段AD的中點，因此點O到平面EAC的距離OG是點D到平面EAC 距離的一半，
即點D到平面EAC距離為

2 3

3

．
（3）連接FD交AC于點S，PF∥平面EAC，平面EAC∩平面PFD=ES，
∴PF∥ES  ①
又∵F為BC中點，∴

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

②
由①②知：

PE

ED

=

FS

SD

=

1

2

．
即：當(dāng)F是BC的中點且PF∥平面EAC時，有

PE

=

1

3

PD

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的定義、三垂線定理、定點平面的距離的求法、線面平行的性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理等是解題的關(guān)鍵．