Question

．設(shè)集合是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列的集合：
①     ② 是與無(wú)關(guān)的常數(shù).
（Ⅰ）若是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，證明：；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，試證．

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）≥7（Ⅲ）同解析

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是，則，解得所以 ……………………3分
由=－1＜0
得適合條件①；……………………5分
又，所以當(dāng)=4或5時(shí)，取得最大值20，即≤20，適合條件②．綜上所述， ……………………7分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141536156804.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)n≥3時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)=1，2時(shí)，，即
因此數(shù)列中的最大項(xiàng)是，所以≥7 ……………………12分
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，
由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得           
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231415364841159.gif" style="vertical-align:middle;" />………14分
由           
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231415365311569.gif" style="vertical-align:middle;" />
依次類推，可得    ……………………17分
又存在，使，總有，故有，這與數(shù)列（）的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！
所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意,都有成立.………………18分