【題目】如圖，在高為的等腰梯形中，，且，，將它沿對稱軸折起，使平面平面，如圖，點為的中點，點在線段上(不同于，兩點)，連接并延長至點，使.

(1)證明：平面；

(2)若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，把證明平面的問題轉(zhuǎn)化為證明，即可；（2）求出平面的法向量為和平面的一個法向量為，把求二面角的余弦值的問題轉(zhuǎn)化為求與的夾角的余弦值的問題即可.

(1)證明：由題設(shè)知，，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長為，

則，，，

，，).

因為點為的中點，所以，

所以，，.

因為，，

所以，，又與不共線，

所以平面.

(2)解　因為，，所以，

則，所以，.

設(shè)平面的法向量為，

由得

令，則，，.

易得平面的一個法向量為.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

則，

即二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某避暑山莊擬對一個半徑為1百米的圓形地塊（如圖）進(jìn)行改造，擬在該地塊上修建一個等腰梯形，其中，，圓心在梯形內(nèi)部，設(shè).當(dāng)該游泳池的面積與周長之比最大時為“最佳游泳池”.

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（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.

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①AC⊥BD；

②△ACD是等邊三角形；

③AB與平面BCD成60°的角；

④AB與CD所成的角是60°.

其中正確結(jié)論的序號是________

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（1）如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？

（2）怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？

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