【題目】已知a<﹣1,函數(shù)f(x)=|x3﹣1|+x3+ax(x∈R).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知存在實(shí)數(shù)m,n(m<n≤1),對任意t0∈(m,n),總存在兩個不同的t1 , t2∈(1,+∞),
使得f(t0)﹣2=f(t1)=f(t2),求證: .
【答案】解:(Ⅰ) ,
記 ,
則f2′(x)=6x2+a,
因?yàn)?a<﹣1則由f2′(x)=0可得x=± ,
(i) ,f1(x)在(﹣∞,1)上遞減,
f2(x)在[1,+∞)上遞增,
所以[f(x)]min=f(1)=a+1;
(ii) ,f1(x)在(﹣∞,1)上遞減, ,
所以 .
綜上, ;
(Ⅱ)證明:不妨設(shè)t1<t2,則由(1)知,若﹣6≤a<﹣1,則f2(x)在(1,+∞)上遞增,
不滿足題意,所以a<﹣6.
所以 ,且 ,
(i)a+1﹣2> ,即
即 ,解得 ,即 ,
所以 ,所以 ,
所以 ;
(ii)a+1﹣2≤ ,即 ,
即 ,解得 ,
所以 ,所以m≥1+ ,n≤ ,
所以n﹣m≤ ﹣1﹣
令 =u∈(1, ],則 ﹣1﹣ = u﹣1+ ,
令φ(u)= u﹣1+ ,則 ,
所以φ(u)= u﹣1+ 在u∈(1, ]遞增,
所以φ(u)≤φ( )= ,所以n﹣m≤φ(u)≤
【解析】(Ⅰ)運(yùn)用分段函數(shù)的形式寫出f(x),討論 , ,判斷單調(diào)性,即可得到所求最小值;(Ⅱ)不妨設(shè)t1<t2,則由(1)知,若﹣6≤a<﹣1,則f2(x)在(1,+∞)上遞增,不滿足題意,所以a<﹣6.討論(i)a+1﹣2> ,(ii)a+1﹣2≤ ,運(yùn)用不等式的性質(zhì),求出n﹣m的不等式,即可得到證明.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別為CD和PC的中點(diǎn).
求證:(1) BE∥平面PAD;
(2) 平面BEF⊥平面PCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[ , ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求與點(diǎn)P(3,5)關(guān)于直線l:x-3y+2=0對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo).(2)已知直線l:y=-2x+6和點(diǎn)A(1,-1),過點(diǎn)A作直線l1與直線l相交于B點(diǎn),且|AB|=5,求直線l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答題
(Ⅰ)已知 ,其中ai∈R,i=1,2,…10.
(i)求a0+a1+a2+…+a10;
(ii)求a7 .
(Ⅱ)2017年5月,北京召開“一帶一路”國際合作高峰論壇.組委會將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四個不同的崗位,每個崗位至少有一人參加,且五人均能勝任這四個崗位.
(i)若每人不準(zhǔn)兼職,則不同的分配方案有幾種?
(ii)若甲乙被抽調(diào)去別的地方,剩下三人要求每人必兼兩職,則不同的分配方案有幾種?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M過點(diǎn)A(1,3),B(4,2),且圓心在直線y=x﹣3上.
(Ⅰ)求圓M的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)(﹣4,1)的直線l與圓M相切,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的個數(shù)是( )
①若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α;
②若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行;
③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行;
④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).
A.0 B.1
C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)).現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見下表),將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良.
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.1 | 8.3 | 7.3 | 9.5 | 8.6 | 7.7 | 8.7 | 8.8 | 8.7 | 9.1 |
天數(shù) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.4 | 8.5 | 9.7 | 8.4 | 9.6 | 7.6 | 9.4 | 8.9 | 8.3 | 9.3 |
(Ⅰ)求從這20天隨機(jī)抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個方向運(yùn)動,其路程關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式分別為,,,,有以下結(jié)論:
①當(dāng)時,甲走在最前面;
②當(dāng)時,乙走在最前面;
③當(dāng)時,丁走在最前面,當(dāng)時,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它們一直運(yùn)動下去,最終走在最前面的是甲.
其中,正確結(jié)論的序號為 (把正確結(jié)論的序號都填上,多填或少填均不得分).
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