Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，分別在其左、右焦點(diǎn)，在橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線是與橢圓交于兩點(diǎn)的任意一條直線，若，證明直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程組求解；(2)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系探求．

試題解析：

（1）設(shè)橢圓方程為，為橢圓上任意一點(diǎn)，

所以，，所以

，…………………………………………2分

又因?yàn)?/span>，所以

．……………………4分

因?yàn)?/span>，所以，因此，所以，

因此，

所以橢圓方程為…………………………6分

（2）①若直線不垂直于軸，設(shè)該直線方程為，，

由，得，

化簡得，

所以，，…………………………7分

．………8分

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，

去分母得

即．…………………………10分

，所以或，

當(dāng)時，過定點(diǎn)，顯然不滿足題意；

當(dāng)時，過定點(diǎn)．

②若直線垂直于軸，設(shè)與軸交于點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知為等腰直角三角形，所以，化簡得，

解得或2（舍），即此時直線也過定點(diǎn)．

綜上直線過定點(diǎn)．…………………………13分