【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)當時,正數(shù)滿足,證明: .
【答案】(1) 當時,在區(qū)間上單調遞增,當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.
(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)分析單調性首先確定定義域,然后求導得,再確定分子的符號即可得出單調性,此時二次函數(shù)的對稱軸未知所以可結合二次函數(shù)圖形進行分析討論;(2)因為當時,,由(1)可知在區(qū)間上單調遞增.又易知,且,不妨設,要證,只需證,只需證,即證,即證.構造函數(shù),.分析函數(shù)單調性求出最值即可.
詳解:
(1)解:的定義域為,
,
令,.
①當時,,
所以對恒成立,則在區(qū)間上單調遞增.
②當或時,,令,得,.
(i)當時,,
所以對恒成立,則在區(qū)間上單調遞增.
(ii)當時,.
若,,函數(shù)單調遞增;
若,,函數(shù)單調遞減;
若,,函數(shù)單調遞增.
綜上所述:當時,在區(qū)間上單調遞增.當時,在和上單調遞增;在上單調遞減.
(2)證明:當時,,由(1)可知在區(qū)間上單調遞增.
又易知,且,不妨設,
要證,只需證,
只需證,即證,
即證.
構造函數(shù),.
所以 ,,
.
當時,,所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,
則.
所以得證,從而.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機構對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析,得出下表數(shù)據(jù):
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[選修4-4 , 坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).(10分)
(1)若a=﹣1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為 ,求a.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距離A為 n mile的B處有一艘走私船,在A處北偏西方向,距離A為2 n mile的C處有一艘緝私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船,此時,走私船正以10 n mile / h的速度從B處向北偏東方向逃竄,問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間。(本題解題過程中請不要使用計算器,以保證數(shù)據(jù)的相對準確和計算的方便)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6和4名女志愿者B1 , B2 , B3 , B4 , 從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(12分)
(Ⅰ)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.
(Ⅱ)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望EX.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某海濱浴場海浪的高度(米)是時間的(,單位:小時)函數(shù),記作,下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):
(時) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
(米) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
經長期觀察,的曲線,可以近似地看成函數(shù)的圖象.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)近似表達式;
(2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結論,判斷一天內的上午時至晚上時之間,有多少時間可供沖浪者進行運動?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為6的等邊三角形各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正三棱柱形的容器.
(1)若這個容器的底面邊長為,容積為,寫出關于的函數(shù)關系式并注明定義域;
(2)求這個容器容積的最大值.
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