Question

（2007•惠州模擬）（不等式選講選做題）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值

1

14

．

Answer 1

分析：解法一：利用柯西不等式即可得出．
解法二：利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．

解答：解：解法一：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3³），
∴x2+y2+z2≥

1

14

，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

y

2

=

z

3

，x+2y+3z=1，即x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

時(shí)取等號(hào)．
即x²+y²+z²的最小值為

1

14

．
解法二：設(shè)向量

a

=(1，2，3)，

b

=(x，y，z)，
∵|

a

•

b

|≤|

a

| |

b

|，∴1=x+2y+3z≤

12+22+32

x2+y2+z2

，
∴x2+y2+z2≥

1

14

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

與

b

共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，即

x

1

=

y

2

=

z

3

，x+2y+3z=1，解得x=

1

14

，y=

1

7

，z=

3

14

時(shí)取等號(hào)．
故答案為

1

14

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和正確理解柯西不等式是解題的關(guān)鍵．