Question

已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都與以點(diǎn)A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點(diǎn)是（0，

2

），求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定焦點(diǎn)在y軸上，進(jìn)而可確定a的值，然后設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)其漸近線與以點(diǎn)A（

2

，0）為圓心，1為半徑的圓相切可得到點(diǎn)A（

2

，0）到漸近線的距離等于1，進(jìn)而可求出b的值，確定答案．

解答：解：∵雙曲線的一個頂點(diǎn)是（0，

2

），
∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a=

2

故，雙曲線方程可設(shè)為：

y2

2

-

x2

b2

=1，且漸近線為

2

x±by=0
又∵

| 2 ×  2 +0|

( 2 )2+b2

=1∴b²=2
故雙曲線方程為：y²-x²=2

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)．考查對基礎(chǔ)知識的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題．