設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,Sn=nan-n(n-1).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:an=
b1
3+1
+
b2
3×2+1
+
b3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅲ)令cn=
anbn
4
(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
分析:(I)由題意已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=nan-n(n-1),已知前n項和求通項;
(II)在(I)中求出數(shù)列an的通項,利用列項相消法求解即可.
(III)利用(I)(II)得出cn=
a nb n
4
=
2n•2(3n+1)
4
=3n2+n,再利用正整數(shù)的平方和公式及等差數(shù)列的求和公式求解即得.
解答:解:(I)n≥2時,Sn=nan-n(n-1),
∴Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2),
兩式相減得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),則(n-1)an=(n-1)an-1+2(n-1),
∴an=an-1+2
∴{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,
∴an=2n;
(II)∵an=
b 1
3+1
+
b 2
3×2+1
+
b 3
3×3+1
+…+
bn
3n+1
,
∴an-1=
b 1
3+1
+
b 2
3×2+1
+
b 3
3×3+1
+…+
b n-1
3(n-1)+1

∴當n≥2時,有an-an-1=
b n
3n+1
,
由(I)得an-an-1=2,
∴bn=2(3n+1),
而當n=1時,也成立,
∴數(shù)列{bn}的通項公式bn=2(3n+1)(n∈N*),
(III)cn=
a nb n
4
=
2n•2(3n+1)
4
=3n2+n,
∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=3(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)
=3×
1
6
n(n+1)(2n+1)+
1
2
n(n+1)
=
1
6
n(n+1)(4n+5).
點評:此題考查了數(shù)列遞推式、等差數(shù)列、已知數(shù)列的前n項和求其通項,還考查了公式法求出數(shù)列的前n項的和.
練習冊系列答案
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設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
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(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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