Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點，焦點，在軸上，經(jīng)過點，,且拋物線的焦點為.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 垂直于的直線與橢圓交于,兩點，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程和圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2），或，

【解析】

試題分析：（1） 設(shè)橢圓的方程為，

則由橢圓經(jīng)過點，,有，①

∵拋物線的焦點為_，∴ ， ②

又 ③，

由①、②、③得，

所以橢圓的方程為.                                        ……5分

（2） 依題意，直線斜率為1，

由此設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得.

由，得.

 記， =，=，

圓的圓心為，即, ，

半徑，

當(dāng)圓與軸相切時，，即，，

當(dāng)時，直線方程為，此時，，圓心為(2，1)，半徑為2，圓的方程為；

同理，當(dāng)時，直線方程為，

圓的方程為.                                  ……13分

考點：本小題主要考查橢圓與拋物線基本量之間的關(guān)系和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓的方程的求解，考查了學(xué)生綜合運算所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用以及運算求解能力.

點評：每年高考圓錐曲線問題都出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，要充分利用數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，盡可能的尋求簡單方法，盡可能的減少運算，另外思維一定要嚴(yán)謹(jǐn)，運算一定要準(zhǔn)確.