已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足APQ=BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

(1).  (2) 的斜率為定值.

解析試題分析：(1)設(shè)橢圓的方程為，
由. ,即可得.
(2) 當時，、的斜率之和為0.
設(shè)直線的斜率為, 則的斜率為,的直線方程為, 的直線方程為,分別與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達定理，確定坐標關(guān)系，通過計算
 ,
得到結(jié)論.
試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為
則. 由,得，
∴橢圓C的方程為.                      5分
(2) 當時，、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為, 
則的斜率為,的直線方程為, 
由 整理得
,          9分
  ,
同理的直線方程為,
可得 
∴ ,              12分
 ,
所以的斜率為定值.                     13分
考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線斜率.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．

(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
(2)當＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點到準線x＝－2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圓，
(1)求定點N的坐標；
(2)是否存在一條直線l同時滿足下列條件：
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知過曲線上任意一點作直線的垂線，垂足為,且.
⑴求曲線的方程；
⑵設(shè)、是曲線上兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，
當變化且為定值時，證明直線恒過定點，
并求出該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F(xiàn)1為左焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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