Question

【題目】已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的比是一個(gè)正數(shù).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；

（2）當(dāng)時(shí)得曲線的方程，把曲線向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，已知點(diǎn)，，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),求的最小值；

（3）若直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上的點(diǎn)，使得恒為定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和定值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為軸所在的直線；

當(dāng)時(shí)，可得：，此時(shí)軌跡為以為圓心，為半徑的圓;

（2）;（3）點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.

【解析】

（1）由題意得：, 對(duì)其化簡(jiǎn)，分與進(jìn)行討論可得答案；

（2）代入可得曲線的方程，由題意可得曲線的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得與，由平面向量和三角函數(shù)知識(shí)，可得的最小值；

（3）設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，，即，，聯(lián)立直線與圓，用與表示，由恒為定值，可得的值，可得答案.

解：（1）由題意得：，

化簡(jiǎn)可得：，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為軸所在的直線；

當(dāng)時(shí)，可得：，

此時(shí)軌跡為以為圓心，為半徑的圓;

（2）時(shí)，可得曲線的方程為：，

由曲線向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，可得的方程為：，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)，，

可得，，

故可得：

，其中，

可得的最小值為：；

（3）由（2）可得曲線的方程為：，

由直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，，

即，，

聯(lián)立直線與圓，可得

可得：，，

由點(diǎn)，可得，,

可得：，

可得，

由恒為定值，故與的值無(wú)關(guān)，故可得

點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.