Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C：的離心率為，連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形面積為4．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線與橢圓C交于點(diǎn)M, N,設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，先利用離心率、、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，討論直線MN的斜率是否存在，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到橢圓上，得到的值，再利用，計(jì)算出的范圍，代入到的表達(dá)式中，得到t的取值范圍．

試題解析：（1），，即．

又，．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意知，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立方程消去y得，

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以恒成立，

，

又，

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，

即，

又，

即，整理得：，

化簡(jiǎn)得：，解得或（舍），

，即．

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，

．