Question

（本題滿分15分）

如圖，已知橢圓的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M．

（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；

（2）設過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，當

線段PQ的中點坐標為（0，9）時，求這個圓的方程．

Answer 1

（本題滿分15分）

解：（1）由已知，，直線．

設N（8，t）（t>0），因為AM=MN，所以M（4，）．

由M在橢圓上，得t=6．故所求的點M的坐標為M（4，3）．………………………4分

所以，．

．……………………………………7分

（用余弦定理也可求得）

（2）設圓的方程為，將A，F，N三點坐標代入，得

∵ 圓方程為，令，得．…11分

設，則．

由線段PQ的中點坐標為（0，9），得，．

此時所求圓的方程為．………………………………………15分

（本題用韋達定理也可解）

（2）（法二）由圓過點A、F得圓心橫坐標為－1，由圓與y軸交點的縱坐標為（0，9），

得圓心的縱坐標為9，故圓心坐標為（－1，9）．…………………………………… 11分

易求得圓的半徑為，………………………………………………………………13分

所以，所求圓的方程為．……………………………………… 15分