【題目】已知函數(shù)f(x)=[x2﹣(a+4)x+3a+4]ex,
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)求證不等式(x3﹣6x2+10x)ex>10(lnx+1)成立.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
(1)求導,討論a與2的大小關(guān)系,解導不等式,得出結(jié)論;
(2)根據(jù)題意,當a=2時,f(x)=(x2﹣6x+10)ex,故原不等式可化為f(x)>g(x),其中g(x)=10(),求出f(x)和g(x)的值域,比較即可.
(1)f'(x)=ex(x﹣a)(x﹣2),x∈R,
當a<2時,當x∈(﹣∞,a],(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增;當x∈(a,2)時,f'(x)<0,f(x)遞減;
當a>2時,當x∈(﹣∞,2],(a,+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增;當x∈(2,a)時,f'(x)<0,f(x)遞減;
當a=2時,f'(x)≥0,f(x)在R上遞增;
(2)當a=2時,f(x)=(x2﹣6x+10)ex,
故原不等式可化為f(x)>g(x),其中g(x)=10(),
由(1)知,函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,故當x>0時,f(x)>f(0)=10,
對于g(x)=10(),g'(x),
當x∈(0,1)時,g'(x)>0,g(x)遞增;當x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,g(x)遞減;
故g(x)的最大值為g(1)=10,
故f(x)>g(x)成立,
原命題得證.
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【題目】如圖,在正方體中,點P為AD的中點,點Q為上的動點,給出下列說法:
可能與平面平行;
與BC所成的最大角為;
與PQ一定垂直;
與所成的最大角的正切值為;
.
其中正確的有______寫出所有正確命題的序號
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)設(shè)點P為曲線C上的動點,點M,N為直線上的兩個動點,若是以為直角的等腰三角形,求直角邊長的最小值.
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【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】對于,若數(shù)列滿足,則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列:1,m+1,m2是“K數(shù)列”,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在首項為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”,且其前n項和滿足
?若存在,求出的通項公式;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”,若,試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”,并說明理由.
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【題目】已知定義在上的數(shù)滿足,當時.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】下列命題中,正確的個數(shù)是( )
①直線上有兩個點到平面的距離相等,則這條直線和這個平面平行;
②為異面直線,則過且與平行的平面有且僅有一個;
③直四棱柱是直平行六面體;
④兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐.
A.0B.1C.2D.3
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