【題目】如圖,已知橢圓的左、右頂點為,,上、下頂點為,,記四邊形的內(nèi)切圓為.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知圓的一條不與坐標(biāo)軸平行的切線交橢圓于P,M兩點.
(i)求證:;
(ii)試探究是否為定值.
【答案】(1);(2)(i)詳見解析;(ii)是定值.
【解析】
(1)由已知可得:直線的方程為:,利用四邊形的內(nèi)切圓為可求得內(nèi)切圓的半徑,問題得解。
(2)(i)設(shè)切線,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得:,即可求得,所以,問題得證。
(ii)①當(dāng)直線的斜率不存在時,,②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得:,即可求得:,同理可得:,問題得解。
(1)因為,分別為橢圓的右頂點和上頂點,則,坐標(biāo)分別為,可得直線的方程為:
則原點O到直線的距離為,則圓的半徑,
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)(i)可設(shè)切線,
將直線的方程代入橢圓可得,由韋達(dá)定理得:
則,
又與圓相切,可知原點O到的距離,整理得,
則,所以,故.
(ii)由知,
①當(dāng)直線的斜率不存在時,顯然,此時;
②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為:
代入橢圓方程可得,則,
故,
同理,
則.
綜上可知:為定值.
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【題目】下列說法正確的是( ).
A.命題,,則為,
B.“若,則”的逆命題為真命題
C.若“”、“ ”為真命題,則“”為假命題
D.王昌齡《從軍行》中兩句詩“黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,后一句中“攻破樓蘭”是“回到家鄉(xiāng)”的必要條件
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【題目】某工廠共有名工人,已知這名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間(單位:萬件)內(nèi),其中每年完成萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工,現(xiàn)將其分成組,第組、第組、第組、第組、第組對應(yīng)的區(qū)間分別為,,,,,并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求的值,并求去年優(yōu)秀員工人數(shù);
(2)選取合適的抽樣方法從這名工人中抽取容量為的樣本,求這組分別應(yīng)抽取的人數(shù);
(3)現(xiàn)從(2)中人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取名傳授經(jīng)驗,求選取的名工人在同一組的概率.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線向左平移2個單位,再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求曲線上到直線的距離最短的點的直角坐標(biāo).
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【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺從購買該平臺某課程的客戶中,隨機抽取了100位客戶的數(shù)據(jù),并將這100個數(shù)據(jù)按學(xué)時數(shù),客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計,整理得到如表:
學(xué)時數(shù) |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根據(jù)上表估計男性客戶購買該課程學(xué)時數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表,結(jié)果保留小數(shù)點后兩位);
(2)從這100位客戶中,對購買該課程學(xué)時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人,再從這7人中隨機抽取2人,求這2人購買的學(xué)時數(shù)都不低于15的概率.
(3)將購買該課程達(dá)到25學(xué)時及以上者視為“十分愛好該課程者”,25學(xué)時以下者視,為“非十分愛好該課程者”.請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛好該課程者”與性別有關(guān)?
非十分愛好該課程者 | 十分愛好該課程者 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點是曲線上的動點,求到直線距離的最小值,并求出此時點坐標(biāo).
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【題目】某小學(xué)要求下午放學(xué)后的17:00-18:00接學(xué)生回家,該學(xué)生家長從下班后到達(dá)學(xué)校(隨機)的時間為17:30-18:30,則該學(xué)生家長從下班后,在學(xué)校規(guī)定時間內(nèi)接到孩子的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進(jìn)行測評,該公司隨機調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.
(1)求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).
(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進(jìn)行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進(jìn)行初測。若3個工程手機的評分都達(dá)到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;若3個工程手機中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分,則認(rèn)定該芯片不合格;若3個工程手機中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分,則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進(jìn)行二測,二測時,2個工程手機的評分都達(dá)到11萬分,則認(rèn)定該芯片合格;2個工程手機中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分,手機公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立,并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元,每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格,將不再進(jìn)行后續(xù)測試,現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元,試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,記函數(shù)在區(qū)間的最大值為.最小值為,求的取值范圍.
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