已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M,其左頂點(diǎn)為N,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),平行于MN的直線l交橢圓于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

【答案】分析:(Ⅰ)由題意設(shè)出橢圓方程,把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合隱含條件a2=b2+c2可求解a2,b2,則橢圓的方程可求;
(Ⅱ)由橢圓方程求出頂點(diǎn)N的坐標(biāo),求出MN的斜率,設(shè)出直線l的斜截式方程,和橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,由兩點(diǎn)式寫出MA和MB的斜率,作和后化為含有直線l的截距的代數(shù)式,整理得到結(jié)果為0,所以結(jié)論得證.
解答:(Ⅰ)解:設(shè)橢圓的方程為(a>b>0),因?yàn)檫^點(diǎn),
所以 ①
又c=1,所以a2=b2+c2=b2+1 ②
由①②可得a2=4,b2=3.
故橢圓C的方程為
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,,所以
故設(shè)直線l:,
聯(lián)立,得x2+mx+m2-3=0.


=
==1-1=0.
故直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和學(xué)生的計(jì)算能力,屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•臨沂三模)已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(1,
32
)
,其左頂點(diǎn)為N,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),平行于MN的直線l交橢圓于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(1,
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),兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0)和F2(1,0)
(I)求橢圓C的方程;
(II)若A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP 與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證:以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年遼寧省丹東市四校協(xié)作體高三摸底(零診)數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0)和F2(1,0)
(I)求橢圓C的方程;
(II)若A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP 與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證:以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年遼寧省丹東市四校協(xié)作體高三摸底(零診)數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-1,0)和F2(1,0)
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(II)若A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),直線AP 與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D,當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證:以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF2相切.

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