【題目】已知函數(shù), (其中, ),且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合.

(1)求實數(shù), 的值;

(2)記函數(shù),是否存在最小的正常數(shù),使得當(dāng)時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立?給出你的結(jié)論,并說明結(jié)論的合理性.

【答案】(1) , ;(2) 題目所要求的最小的正常數(shù)就是,即存在最小正常數(shù),當(dāng)時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立.

【解析】試題分析:1,則在點處切線方程為

,則在點處切線方程為兩直線重合所以得解(2根據(jù)(1)知,則, ,即,即,構(gòu)造函數(shù),則問題就是求恒成立,進(jìn)行求導(dǎo)研究單調(diào)性得上是增函數(shù),在上是減函數(shù),而 ,

則函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點,設(shè)為),

從而可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增, ,

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .還有是函數(shù)的極大值,也是最大值.題目要找的,理由如下;

試題解析:

(1)∵,則在點處切線方程為

,則在點處切線方程為. 

解得,

(2)根據(jù)(1)知,則

,即,即,

構(gòu)造函數(shù),則問題就是求恒成立,

,令

,顯然是減函數(shù),又,所以上是增函數(shù),

上是減函數(shù),

,

,

則函數(shù)在區(qū)間上各有一個零點,設(shè)為),

并且有在區(qū)間上, ,即;

在區(qū)間上, ,即

從而可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增, ,

當(dāng)時, ;當(dāng)時,

還有是函數(shù)的極大值,也是最大值.題目要找的,理由:

當(dāng)時,對于任意非零正數(shù), ,而上單調(diào)遞減,所以一定恒成立,即題目要求的不等式恒成立;

當(dāng)時,取,顯然,題目要求的不等式不恒成立,說明不能比;

綜上可知,題目所要求的最小的正常數(shù)就是,即存在最小正常數(shù),當(dāng)時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立.

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幾何題

代數(shù)題

總計

男同學(xué)

22

8

30

女同學(xué)

8

12

20

總計

30

20

50


(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(2)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5﹣7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6﹣8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
附表及公式:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

K2=

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A.2013
B.2014
C.2015
D.2016

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(1)寫出明年第 個月的需求量 (萬件)與月份 的函數(shù)關(guān)系式,并求出哪個月份的需求量超過 萬件;
(2)如果將該商品每月都投放到該地區(qū) 萬件(不包含積壓商品),要保證每月都滿足供應(yīng), 應(yīng)至少為多少萬件?(積壓商品轉(zhuǎn)入下月繼續(xù)銷售)

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A.
B.
C.
D.

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